Lekce 3
Lineární rovnice 1. řádu

Tvar rovnice

Uvažujme dvě spojité funkce \(a: I\to\mathbb R,\) \(b:I\to\mathbb R\) na intervalu \(I\subset\mathbb R.\) Pak rovnici ve tvaru: \[ y' + a(x)y = b(x) \tag{1} \] nazveme lineární rovnicí 1. řádu. Pokud na intervalu \(I\) je \(b\equiv 0\), pak říkáme, že rovnice (1) je homogenní rovnicí. Homogenní lineární rovnice 1. řádu má tedy tvar: \[ y' + a(x)y = 0. \tag{2} \] Jelikož je homogenní lin. rovnice 1. řádu rovnicí se separovatelnými proměnnými, máme již tedy k dispozici metodu pro získání řešení. Postupujeme takto: \begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y}dy &=& -\int a(x)dx,\\ \ln|y| &=& -A(x) - C_1,\\ |y| &=& e^{-C_1} e^{-A(x)},\\ y(x) &=& \pm e^{-C_1} e^{-A(x)} = Ce^{-A(x)}. \end{eqnarray*} Obecné řešení homogenní rovnice má tedy tvar: \[ y(x) = Ce^{-A(x)},\ \ \ C\in\mathbb R. \tag{3} \] Funkce \(A(x)\) označuje libovolnou primitivní funkci k funkci \(a(x).\)

Metoda variace konstanty

Nyní řešme nehomogenní rovnici (1) a hledejme řešení \(y(x)\) ve tvaru: \[ y(x) = C(x)e^{-A(x)}, \] kde \(C(x)\) je neznámou funkcí proměnné \(x\). Zderovujme formálně tuto funkci a poté dosaďme \(y(x)\) a \(y'(x)\) do rovnice (1). Takto obdržíme podmínku pro neznámou funkci \(C(x)\): \[ y'(x) = C'(x)e^{-A(x)} + C(x)e^{-A(x)}(-a(x)). \] Dosazením dostáváme: \[ C'(x)e^{-A(x)} + C(x)e^{-A(x)}(-a(x)) + a(x)C(x)e^{-A(x)} = b(x). \] Po zjednodušení máme: \[ C'(x)e^{-A(x)} = b(x) \] neboli \[ C'(x) = e^{A(x)}b(x). \] To je hledaná podmínka pro neznámou funkci \(C(x)\). Označme jako \(B(x)\) libovolnou primitivní funkci k funkci \(e^{A(x)}b(x).\) Pak lze funkci \(C(x)\) vyjádřit ve tvaru: \[ C(x) = B(x) + K, \ \ K\in\mathbb R, \] \(K\) je integrační konstanta. Obecným řešením rovnice (1) je pak funkce\[ y(x) = e^{-A(x)}(B(x) + K). \tag{4} \] Metodu, kterou jsme získali řešení nehomogenní rovnice budeme nazývat metodou variace konstanty. Pokud za funkce \(A,B\) dosadíme příslušné neurčité integrály, dostaneme následující vyjádření pro řešení: \[ y(x) = e^{-\int a(x)dx}(\int e^{\int a(x)}b(x)dx). \tag{4'} \]

Počáteční úloha

Věnujme se dále řešení počáteční úlohy: \begin{eqnarray} y' + a(x)y &=& b(x),\\ y(x_0) &=& y_0,\ \ x_0\in I,\ \ \ y_0\in\mathbb R, \end{eqnarray} kde \(I\subset\mathbb R\) je daný interval. Kombinací rovnice (4) a podmíínky \(y(x_0) = y_0\) dostaneme následující: \[ y_0 = y(x_0) = e^{-A(x)}(B(x_0) + K). \] Pokud bude platit \(A(x_0) = B(x_0) = 0,\) pak stačí položit \(K = y_0.\) Řešení počáteční úlohy lze zapsat ve tvaru: \[ y(x) = e^{-\int_{x_0}^x a(s)ds}\left(y_0 + \int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^ta(s)ds}b(t)dt\right) \tag{5} \] Příklad. Uvažujme lineární rovnici s konstantními koeficienty \(a(x) = a\), \(b(x) = b,\) kde \(a,b\in\mathbb R\) jsou konstanty. Rovnice \[ y' + ay = b. \] Předpokládejme, že \(a\neq 0,\) Pak \(A(x) = \int adx = ax,\) \(B(x) = \int be^{ax}dx = \frac{b}{a} e^{ax} + k.\) Dosazením do vztahu (4) dostaneme: \[ y(x) = e^{-ax}(\frac{b}{a}e^{ax} + k) = ke^{-ax} + \frac{b}{a}. \tag{6} \] Budeme-li nyní požadovat, aby byla splněna počáteční podmínka \(y(x_0) = y_0,\) pak musí platit: \begin{eqnarray} y_0 &=& ke^{-ax_0} + \frac{b}{a}\\ y_0e^{ax_0} &=& k + \frac{b}{a}e^{ax_0}\\ k &=& y_0e^{ax_0} - \frac{b}{a}e^{ax_0} = \left(y_0 - \frac{b}{a}\right)e^{ax_0}. \end{eqnarray} Po dosazení do vztahu (6) obdržíme řešení počáteční úlohy: \[ y(x) = \left(y_0 - \frac{b}{a}\right)e^{-a(x - x_0)} + \frac{b}{a}. \tag{7} \]

Úlohy

  1. Najděte obecné řešení lineární rovnice \[ y' = \frac{2x - y}{x - 1}. \] [Řešení si prohlédněte ve videu zde.]
  2. Najděte obecné řešení lineární rovnice: \[ y' = \frac{1}{x}y - \frac{3x + 2}{x^3}. \] [Řešení si prohlédněte ve videu zde.]
  3. Najděte obecné řešení lineární rovnice: \[ y' + 3xy = x^3. \] [Řešení: \(y(x) = \frac{1}{3}(x^2 - \frac{2}{3}) + ke^{-\frac{3}{2}x^2}.\)]
  4. Najděte obecné řešení lineární rovnice: \[ xy' = y + \frac{2x^2}{1 + x^2}. \] [Řešení: \(y(x) = 2x\cdot arctg (x) + kx,\ k\in\mathbb R.\)]
  5. Uvažujme lineární rovnici s parametrem \(k\in\mathbb R\): \[ y' + 3xy = kx. \] Najděte řešení \(y = y(x)\) takové, aby byla splněna počáteční podmínka \(y(0) = 0.\)
    [Řešení: \(y(x) = \frac{k}{3}(1 - e^{-\frac{3}{2}x^2}).\)]