Obsah videa
Příklad 1.
Dokažme matematickou indukcí, že pro všechna kladná celá čísla n
platí:
\[
1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2.
\]
Příklad 2.
Dokažme matematickou indukcí, že pro všechna nezáporná celá čísla
n platí:
\[
1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} - 1.
\]
Příklad 3.
Dokažme matematickou indukcí, že pro všechna kladná celá čísla n
platí:
\[
n < 2^n.
\]
Příklad 4.
Dokažme matematickou indukcí, že pro všechna celá čísla \(n \ge 4\)
platí:
\[
2^n < n!.
\]
Příklad 5. Harmonická čísla \(H_k\) jsou definována předpsem: \[ H_k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{k}. \] Úkolem je dokázat, že pro všechna nezáporná celá čísla n platí: \[ H_{2^n} \ge 1 + \frac{n}{2}. \]
Příklad 6. Matematickou indukcí dokážeme, že pro všechna nezáporná celá čísla n a pro všechna reálná čísla x, \(x \ge -1\), platí tzv. Bernoulliho nerovnost: \[ (1 + x)^n \ge 1 + nx. \]