Tvoření množin

Důsledky prvních šesti axiomů

Axiom extenzionality

Jsou-li $A$ a $B$ množiny, pak definujeme: \[ A \subset B \Leftrightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in B). \] Chceme-li dokázat, že $A = B$, stačí dokázat, že $A \subset B$ a $B \subset A$.

Axiom existence prázdné množiny

Existuje množina, která neobsahuje žádný prvek. Nyní díky axiomu extenzionality víme, že tato množina je jediná a značíme ji $\emptyset$.

Schéma axiomů vydělení

Je-li $A$ množina a $φ(x)$ je logická formule, potom existuje jediná množina $S = \{x∈A:φ(x)\}$. Odtud jednoduše plyne: $S⊆A$. Dále lze užitím schématu axiomů vydělení dokázat existenci průniku a rozdílu dvou množin, neboť je \[ \begin{align*} A ∩ B &= \{x∈A: x∈B\}\\ A∖B &= \{x∈A: x∉B\}. \end{align*} \] Na druhé straně ze schématu axiomů vydělení nelze vyvodit existenci sjednocení $A ∪ B$.

Věta. Předpokládejme, že $A, B$ a $C$ jsou množiny. Pak platí: \[ A ∩ (B \setminus C) = (A ∩ B) \setminus C. \]

Důkaz. Nechť $A,B$ a $C$ jsou dané množiny. Dokažme, že pak platí uvedená rovnost.
($⊆$) Nechť $x∈A ∩ (B ∖ C).$ Potom $x∈A$ a $x∈B∖C.$ Odtud pak plyne, že $x∈A,$ $x∈B$ a $x∉C.$ Protože $x∈A$ a současně $x∈B$, platí: $x∈A∩B.$ Protože dále $x∉C,$ plyne z předchozích vlasností elementu $x,$ že $x∈(A ∩ B) ∖ C.$ ($⊇$) Nechť $x∈ (A ∩ B) ∖ C.$ Potom současně platí, že $x∈ (A ∩ B)$ a $x∉C.$ Odtud plyne, že současně $x∈A$, $x∈B$ a $x∉C.$ Dále odsud plyne, že současně platí $x∈A$ a $x∈B∖C.$ Potom platí $x∈A ∩ (B ∖ C).$ $□$

Jak jsme viděli, tak pro danou množinu $A$ a logickou formuli $φ(x)$ pak matematická formule $\{x∈A: φ(x)\}$ zastupuje jednoznačně definovanou množinu $S$ jejímiž elementy jsou množiny $x$ takové, pro něž současně platí $x∈A$ a $φ(x).$ Je-li $φ(x)$ logická formule, potom matematická formule $\{x:φ(x)\}$ zastupuje tzv. třídu. Pokud zapíšeme: \[ C = \{x:φ(x)\}, \] potom nazveme proměnnou $C$ třídou. Nyní řekneme, že třída $C$ je množinou, pokud existuje množina $M$ taková, že \[ ∀x(x∈M ⇔ φ(x)). \tag{C} \] Pokud neexistuje množina $M$ splňující vlastnost (C), říkáme, že třída $C$ je vlastní třídou.

Věta. Nechť $φ(x)$ je logická formule. Dále nechť existuje množina $A$ taková, že pro všechna $x$ z platnosti formule $φ(x)$ plyne $x∈A.$ Potom je třída $C = \{x:φ(x)\}$ množinou.

Důkaz. Předpokládejme, že množina $A$ a logická formule $φ(x)$ jsou zvoleny a platí \[ ∀x(φ(x) ⇒ x∈A). \] V důsledku axiomu vydělení existuje množina \[ M = \{x∈A: φ(x)\}. \] Pro množinu $M$ pak platí (C), tj. třída $C$ je množinou. Množina $M$ je díky axiomu extenzionality určena jednoznačně. $□$

Axiom neuspořádané dvojice

Jsou-li $x_1,\ldots,x_n$ množiny, potom formule $\{x_1,\ldots,x_n\}$ zastupuje množinu $A$ pro kterou platí: \[ ∀u(u∈A ⇔ u∈x_1 ∨ u∈x_2 ∨ \ldots ∨ u∈x_n). \] Existence této množiny je důsledkem axiomu neuspořádané dvojice.

Axiom sjednocení

Pro každou množinu $\mathcal F$ existuje množina $U$ taková, že obsahuje právě ty elementy, které náleží alespoň do jedné z množin, které jsou elementem množiny $\mathcal F.$ \[ u ∈ U ⇔ ∃v(v ∈ \mathcal F ∧ u ∈ v). \] $$ ⋃\mathcal F = U. $$

Příklad. Nechť \[ \mathcal F = \{\{a,b,c\}, \{e,f\}, \{e,c,d\}\}. \] Pak máme: \[ ⋃\mathcal F = \{a,b,c,d,e,f\}. \]

Příklad. Jestliže $A,B$ jsou množiny a $\mathcal F = \{A,B\},$ potom platí \[ \bigcup\{A,B\} = A ∪ B = \{x: x\text{ náleží do množiny } A\ \text{ nebo } x \text{ náleží do } B\} \]

Věta. Nechť $\mathcal F$ je neprázdná množina. Potom existuje jediná množina $I$ taková, že $x\in I,$ právě tehdy když $x$ náleží do množiny $u$ pro všechny množiny $u\in\mathcal F.$

Poznámka. \[ I = \{x: ∀u(u ∈ \mathcal F ⇒ x ∈ u)\}. \]

Důkaz. Uvažujme logickou formuli $φ(x)$: \[ ∀u(u\in\mathcal F ⇒ x∈u). \] Jelikož podle předpokladu je $\mathcal F \neq ∅,$ existuje $A ∈ \mathcal F.$ Nyní \[ ∀x (φ(x) ⇒ x ∈ A). \] Odsud pak plyne existence množiny \[ I = \{x\in A: φ(x)\} = \{x\in A: ∀u(u\in\mathcal F ⇒ x∈u)\}. \] Z axiomu extenzionality pak plyne jednoznačnost množiny $I$. $□$

Definice průniku množin. Nechť $\mathcal F$ je neprázdná množina. Množinu $I$, jejíž existence je dána předchozí větou, označíme symbolem $⋂\mathcal F$ a nazveme průnikem množiny $\mathcal F$.

Poznámka. Připomeňme, že průnik prázdné množiny $\bigcap \emptyset$ není definován.

Příklad. Nechť $\mathcal F = \{\{c, e, f\}, \{e, f\}, \{e, f, c, d\}\}.$ Potom $$ ⋂\mathcal F = \{e,f\}. $$ $$ ⋂⋂\mathcal F = ⋂\{e, f\} = e\cap f. $$

Příklad. Nechť $\mathcal F = \{⟨-1/n, 1/n⟩: n∈\mathbb N,\ n \neq 0\}.$ \[ ⋂\mathcal F = \{0\}. \]

Axiom potenční množiny

Axiom potenční množiny tvrdí, že pro každou množinu $A$ je třída: \[ \{u: u ⊆ A\} \] množinou. Tuto množinu nazveme potenční množinou množiny $A$ a označíme symbolem $P(A)$. Poznamenejme, že tato množina je určena jednoznačně díky axiomu extenzionality.

Příklad.

$P(∅) = \{∅\}.$
$P(\{a\}) = \{∅, \{a\}\}.$
$P(\{∅, a\}) = \{∅, \{∅\}, \{a\}, \{∅, a\}\}.$

Množinové operace

Věta (de Morganovy zákony). Je-li $A$ množina a $\mathcal F$ je neprázdná množina. Potom platí:
a) $A∖ \bigcup\mathcal F = ⋂\{A∖C: C∈ \mathcal F\},$
b) $A ∖ ⋂\mathcal F = ⋃\{A∖C: C ∈ \mathcal F\}.$

Věta (distriktivní zákony).
a) $A\cup(⋂\mathcal F) = ⋂\{A\cup C: C \in \mathcal F\}$ pro $\mathcal F \neq ∅,$
b) $A ∩ (⋃\mathcal F) = \bigcup\{A\cap C: C ∈ \mathcal F\}.$

Cvičení

Dokažte de Morganovy zákony. Viz Věta výše.