Axiomy

Axiom extenzionality

Dvě množiny jsou si rovny právě tehdy, když obsahují stejné prvky: $$ ∀ A∀B(A = B ⇔ ∀x(x∈A⇔x∈B)). $$

Existence prázdné množiny

Existuje množina, která neobsahuje žádný prvek: $$ ∃A∀x(x∉A). $$

Schéma axiomů vydělení

Nechť $\varphi(x)$ je libovolná logická formule. Potom pro každou množinu $A$ existuje množina $S$ obsahující právě ty elementy $x\in A$, pro které platí $\varphi(x)$: $$ ∀A∃S∀x(x∈S⇔x∈A∧\varphi(x)). $$

Axiom neuspořádané dvojice

Pro každé dvě množiny $u$ a $v$ existuje množina, která obsahuje právě tyto dvě množiny jako svoje prvky: $$ ∀u∀v∃A∀x(x∈A⇔x=u∨x=v). $$

Axiom sjednocení

Pro každou množinu $\mathcal F$ existuje množina $U$, která obsahuje všechny elementy, které náleží alespoň jedné množině z $\mathcal F$: $$ ∀\mathcal F∃U∀x(x∈U⇔∃A∈\mathcal F(x∈A)). $$

Axiom potenční množiny

Pro každou množinu $A$ existuje množina $P$ obsahující jako své elementy právě všechny podmnožiny množiny $A$: $$ \forall A \exists P \forall x (x \in P \Leftrightarrow \forall y (y \in x \Rightarrow y \in A)). $$

Axiom nekonečna

Existuje množina $I$, která obsahuje prázdnou množinu jsko svůj element a pokud $x\in I$, pak $x\cup \{x\}\in I$: $$ ∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒x∪\{x\}∈I)). $$

Schéma axiomů nahrazení

Nechť $\psi(x,y)$ je libovolná logická formule. Potom pro každou množinu $A$ platí, že když pro každý element $x\in A$ existuje jediná množina $y$, pro kterou platí $\psi(x,y)$, pak existuje množina $S$, která obsahuje právě ty elementy $y$, pro které existuje $x\in A$ takové, že $\psi(x,y)$: $$ ∀A((∀x∈A)∃!y\psi(x,y)⇒∃S∀y(y∈S⇔(∃x∈A)\psi(x,y))). $$

Axiom regularity

Každá neprázdná množina $A$ obsahuje element disjunktní s $A$: $$ ∀A(A≠∅⇒∃x(x∈A∧x∩A=∅)). $$

Axiom výběru

Pro každý systém $\mathcal F$ disjunktních neprázdných množin existuje množina ("selektor") $S$, která obsahuje právě jeden prvek z každé množiny z $\mathcal F$: $$ ∀\mathcal F[\forall x\in \mathcal F(x≠∅)\wedge \forall x\in \mathcal F\forall y\in \mathcal F (x≠y⇒x∩y=∅)] ⇒∃S∀x\in \mathcal F\exists ! z (z\in S\wedge z\in x). $$

Definice označení

$\emptyset:= \{x: x\neq x\}$.
Podle "Schématu axiomů vydělení" zapíšeme množinu $S$ obsahující právě ty elementy $x\in A$, pro které platí $\varphi(x)$ jako $$ S:=\{x\in A: \varphi(x)\}. $$
Množinu obsahující právě množiny $u$ a $v$ jako svoje elementy jejíž existenci zajišťuje "Axiom neuspořádané dvojice" značíme $$ \{u,v\}. $$ Jestliže $u = v$, pak tuto množinu značíme $\{u\}$.
Množinu obsahující všechny elementy množin z $\mathcal F$ jako svoje elementy jejíž existenci zajišťuje "Axiom sjednocení" značíme $$ \bigcup \mathcal F. $$
Množinu obsahující všechny podmnožiny množiny $A$ jako svoje elementy jejíž existenci zajišťuje "Axiom potenční množiny" značíme $$ P(A). $$
Jsou-li $u$ a $v$ množiny a pokud pro každý element $x$ množiny $u$ platí, že $x$ je elementem množiny $v$, pak množinu $u$ nazýváme podmnožinou množiny $v$ a značíme $$ u\subset v. $$

Cvičení

Nechť $u,v,w$ jsou množiny. Ukažte s pomocí axiomu neuspořádané dvojice a axiomu sjednocení, že existuje množina $A$, která obsahuje právě tyto tři množiny jako svoje prvky. (Tuto množinu značíme $\{u,v,w\}$).
Předpokládejme, že $A$ a $B$ jsou množiny. Dokažte, že pokud $A\subset B,$ pak $P(A)\subset P(B)$.
S pomocí schématu axiomů vydělení ukažte, že neexistuje množina $X$, taková, že $P(X) \subset X$.
Nechť $A$ je množina. S využitím axiomu neuspořádané dvojice dokažte existenci jednoprvkové množiny $\{A\}$.
Ukažte, že žádné dvě z mnnožin $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ si nejsou rovny.
S využitím axiomu regularity ukažte, že žádná množina nemůže být prvkem sama sebe. Tj. pro každou množinu $X$ platí $X\notin X$.