Definice topologie
Definice.
Nechť \(X\) je daná množina. Topologií na množině \(X\) rozumíme systém
\(\tau\) podmnožin množiny \(X\), který splňuje následující tři axiomy:
- (TP1) \(\emptyset \in \tau\), \(X \in \tau\).
- (TP2) Jestliže \(A, B \in \tau\), pak \(A \cap B \in \tau\).
- (TP3) Jestliže \(\mathcal{U} \subset \tau\), pak \(\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U \in \tau\).
Cvičení.
Nechť \(X\) je množina. Ukažte, že systém všech podmnožin množiny \(X\),
\(\tau =
\text{exp}(X)\)
je topologií na množině \(X\). Tuto topologií budeme nazývat diskrétní
topologií na množině \(X\).
Cvičení.
Nechť \(X=\{0,1\}\) a \(\tau=\{\emptyset, X, \{0\}\}\). Ukažte, že
\(\tau\) je topologií na množině \(X\). Tuto topologii budeme nazývat
Sierpińského topologií a dvojici \((X,\tau)\) nazývat Sierpińského
prostorem.
Cvičení.
Nechť \(X\) je množina a \(\tau_f\) je systém všech podmnožin \(U\) množiny
\(X\), pro které platí \(X\setminus U\) je konečná množina. Ukažte, že
\(\tau_f\) je topologií na množině \(X\). Tuto topologii budeme nazývat
topologií konečných komplementů na množině \(X\).
Cvičení.
Nechť \(X\) je topoogický prostor a nechť \(Y\subset X\). Ukažte, že
pak systém \(\tau_Y^X = \{U\cap Y: U\in\tau(X)\}\) je topologií na množině
\(Y\). Tuto topologii nazýváme topologií podprostoru na množině \(Y\)
indukovanou topologií na množině \(X\)
(nebo zděděnou z topologie na \(X\)).
Cvičení.
Nechť \(X = \mathbb{R}\). Nyní položme \(\mathcal{N}_R = \{\emptyset\} \cup
\{U \subset \mathbb{R}: \forall x \in U\ \exists \varepsilon_x > 0 \text{
tak, že }
(x-\varepsilon_x, x+\varepsilon_x) \subset U\}\). Ukažte, že \(\mathcal{N}_R\)
je topologií na množině \(\mathbb{R}\). Tuto topologii nazýváme standardní
topologií na množině \(\mathbb{R}\).
Cvičení.
Ukažte, že systém podmnoužin množiny \(\mathbb{R}\):
\[
\{U\in\text{exp}(\mathbb{R}):
U = \emptyset \text{ nebo } \exists a \in\mathbb{R}\text{ tak, že }
U = (-\infty, a)\}
\]
je topologií na množině \(\mathbb{R}\).
Nyní zopakujme definici metrického prostoru. neboť metrický prostor lze též chápat jako topologický prostor.
Definice.
Nechť \(X\) je množina a \(d:X\times X\to\mathbb{R}\) je zobrazení, které
každé dvojici prvků \(x,y\in X\) přiřazuje reálné číslo \(d(x,y)\) tak, že
pro každé \(x,y,z\in X\) platí:
- (M1) \(d(x,y)\geq 0\), \(d(x,y)=0\) právě tehdy, když \(x=y\).
- (M2) \(d(x,y)=d(y,x)\).
- (M3) \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\).
- (M1') \(d(x,y)\geq 0\),
Cvičení.
Předpokládejme, že \((X,d)\) je metrický prostor. Ukažte, že systém
\(\tau_d\) všech podmnožin množiny \(X\), které jsou sjednocením otevřených
koulí v metrickém prostoru \((X,d)\), je topologií na množině \(X\).
Připomeňme,
že pod otevřenou koulí v metrickém prostoru \((X,d)\) rozumíme množinu
\(B(x,r)=\{y\in X: d(x,y)< r\}\), kde \(x\in X\) a \(r>0\). Bod \(x\in X\)
nazýváme středem koule \(B(x,r)\) a číslo \(r>0\) poloměrem koule \(B(x,r)\).
Topologii \(\tau_d\) nazýváme topologií indukovanou metrikou \(d\).
Bude závěr tohoto cvičení platit i v případě, že \((X,d)\) je pseudometrický
prostor?
Definice.
Nechť \(X\) je množina a \(\tau\) je topologie na množině \(X\). Množina
\(U\subset X\)
je okolím bodu \(x\in X\), jestliže existuje otevřená množina
\(V\in\tau\),
pro kterou platí \(x\in V\subset U\).
Cvičení.
Nechť \(X\) je topologickým prostorem. Ukažte, že
množina \(V\subset X\) je v \(X\) otevřená, právě tehdy když pro každý bod
\(x\in V\) existuje okolí \(U_x\) bodu \(x\), pro které platí \(U_x\subset
V\).
Definice (báze topologie).
Nechť \((X,\tau)\) je topologický prostor. Systém
\(\mathcal{B}\subset\tau(X)\)
nazveme bází topologie topologie \(\tau(X)\), jestliže pro každou
otevřenou množinu \(U\in\tau(X)\) existuje množina
\(\mathcal{B}_U\subset\mathcal{B}\)
tak, že \(U=\bigcup\mathcal{B}_U\).
Cvičení.
Uvažujme topologický prostor \((\mathbb{R}, \mathcal{N}_R)\). Ukažte, že
systém všech otevřených intervalů \((a,b)\subset\mathbb{R}\) je bází
topologie \(\mathcal{N}_R\).
Cvičení.
Nechť \(X\) je topologický prostor a \(\mathcal{B}\) je báze topologie
\(\tau(X)\). Ukažte, že systém \(\mathcal{B}\) splňuje následující
podmínky:
- (B1) \(\bigcup\mathcal{B} = X\).
- (B2) Pro každé dvě množiny \(U,V\in\mathcal{B}\) a každý bod \(x\in U\cap V\) existuje množina \(W\in\mathcal{B}\) tak, že \(x\in W\subset U\cap V\).
Cvičení.
Ukažte, že systém všech otevřených intervalů
\(\{(a,b)\in\text{exp}(\mathbb{R}):
a< b\}\) je bází topologie \(\mathcal{N}_R\).
Cvčení (rozkladová topologie na množině).
Uvažujme neprázdnou množinu \(X\) a její rozklad \(P \subset \text{exp}(X)\).
Potom ukažte, že systém podmnožin \(P \cup \{\emptyset\}\) je bází topologie
na množině \(X\). Tuto topologii nazveme rozkladovou topologií na množině
\(X\) indukovanou rozkladem \(P\).
Definice (subbáze topologie).
Nechť \((X,\tau)\) je topologický prostor. Systém
\(\mathcal{S}\subset\tau(X)\)
nazveme subbází topologie topologie \(\tau(X)\), jestliže systém
všech
konečných průniků prvků množiny \(\mathcal{S}\) je bází topologie
\(\tau(X)\).
Cvičení.
Ukažte, že pro každou subbázi topologického prostoru \((X,\tau)\) platí
\(\bigcup\mathcal{S} = X\).
Nyní nechť \(X\) je množina bez topologie a \(\mathcal{S}\) je systém
podmnožin množiny \(X\), pro který platí \(\bigcup\mathcal{S} = X\).
Ukažte, že pak na množině \(X\) existuje právě jedna topologie \(\tau\),
pro kterou je systém \(\mathcal{S}\) subbází topologie \(\tau\).
Definice.
Nechť \(X\) je topologický prostor a nechť \(x\in X.\) Pak neprázdný systém
\(\mathcal{L}\subset\tau(X)\) nazveme lokální bází v bodě \(x\),
jestliže
- (a) \(x\in\bigcap\mathcal{L}\).
- (b) Pro každou otevřenou množinu \(U\in\tau(X)\) pro kterou je \(x\in U\) existuje množina \(V\in\mathcal{L}\) tak, že \(V\subset U\).
Cvičení.
Předpokládejme, že \((X,\tau)\) je topologický prostor a nechť pro každé
\(x\in X\) je dána fixovaná lokální báze \(\mathcal{B}_x\) v bodě \(x\).
Ukažte, že systém lokálních bází \(\mathcal{B}_x\) splňuje následující
podmínky:
- (LB1) \(\mathcal{B}_x\neq \emptyset\) a \(\bigcap\mathcal{B}_x\ni x\) pro každé \(x\in X\).
- (LB2) Jestliže \(x\in X\) a \(U,V\in\mathcal{B}_x\), pak existuje \(W\in\mathcal{B}_x\) tak, že \(W\subset U\cap V\).
- (LB3) Jestliže \(x\in U\in\mathcal{B}_y\), poto existuje \(V\in\mathcal{B}_x\) tak, že \(V\subset U\).
Definice.
Nechť \((X,\tau)\) je topologický prostor a nechť \(F \subset X\). Řekneme,
že množina \(F\) je uzavřená, jestliže její doplněk \(X\setminus F\)
je otevřená množina.
Cvičení.
Předpokládejme, že \((X,\tau)\) je topologický prostor. Dokažte, že potom
platí následující:
- (F1) \(\emptyset, X\) jsou uzavřené množiny.
- (F2) Jestliže \(F_1, F_2\) jsou uzavřené množiny, pak \(F_1\cup F_2\) je uzavřená množina.
- (F3) Jestliže \(\mathcal{F}\) je neprázdný systém uzavřených množin, pak \(\bigcap\mathcal{F}\) je uzavřená množina.
Definice.
Nechť \((X,\tau)\) je topologický prostor a nechť \(A\subset X\). Množinu,
\(\overline{A}\), která je průnikem všech uzavřených množin obsahujících
množinu \(A\), nazýváme uzávěrem množiny \(A\) v topologickém prostoru
\((X,\tau)\).
Množinu, \(\text{Int}(A)\), která je sjednocením všech otevřených množin
obsažených v množině \(A\), tj. \(\text{Int}(A) = \bigcup\{U\in\tau(X):
U\subset A\}\), nazýváme vnitřkem množiny \(A\) v topologickém prostoru
\((X,\tau)\). Je-li potřeba zdůraznit topologický prostor, ve kterém
se tvoří uzávěr resp. vnitřek množiny, píšeme \(\text{cl}_X(A)\) resp.
\(\text{int}_X(A)\).
Cvičení.
Předpokládejme, že \(X\) je topologický prostor. Ukažte, že pro operaci
uzávěru
množiny platí následující:
- (C1) \(\overline{\emptyset} = \emptyset\), \(\overline{X} = X\).
- (C2) \(\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup\overline{B}\) pro libovolné množiny \(A,B\subset X\).
- (C3) \(A \subset \overline{A}\) pro každou množinu \(A\subset X\).
- (C4) \(\overline{\overline{A}} = \overline{A}\) pro každou množinu \(A\subset X\).
- (C1) \([\emptyset] = \emptyset\), \([X] = X\).
- (C2) \([A\cup B] = [A]\cup[B]\) pro libovolné množiny \(A,B\subset X\).
- (C3) \(A \subset [A]\) pro každou množinu \(A\subset X\).
- (C4) \([[A]] = [A]\) pro každou množinu \(A\subset X\).
Cvičení.
Předpokládejme, že \((X,\tau)\) je topologický prostor. Dokažte, že operace
vnitřku množiny splňuje následující:
- (I1) \(\text{Int}(\emptyset) = \emptyset\), \(\text{Int}(X) = X\).
- (I2) \(\text{Int}(A\cap B) = \text{Int}(A)\cap\text{Int}(B)\) pro libovolné množiny \(A,B\subset X\).
- (I3) \(\text{Int}(A) \subset A\) pro každou množinu \(A \subset X\).
- (I4) \(\text{Int}(\text{Int}(A)) = \text{Int}(A)\) pro každou množinu \(A\subset X\).
- (I1) \(\langle\emptyset\rangle = \emptyset\), \(\langle X\rangle = X\).
- (I2) \(\langle A\cap B\rangle = \langle A\rangle\cap\langle B\rangle\) pro libovolné množiny \(A,B\subset X\).
- (I3) \(\langle A\rangle \subset A\) pro každou množinu \(A\subset X\).
- (I4) \(\langle\langle A\rangle\rangle = \langle A\rangle\) pro každou množinu \(A\subset X\).
Definice.
Nechť \(X\) a \(Y\) jsou topologické prostory. Potom řekneme, že funkce
\(f:X\to Y\) je spojitá, jestliže pro každou otevřenou množinu \(V\)
v \(Y\) platí, že množina \(f^{-1}(V)\) je otevřená v \(X\).
Je-li \(x_0\in X\), pak řekneme, že funkce \(f\) je spojitá v bodě
\(x_0\), jestliže z podmínky \(f(x_0)\in V\in \tau(Y)\) plyne, že
existuje existuje \(U\in\tau(X)\) tak, že \(x_0\in U\) a \(f(U)\subset V\).
Řekneme, že funkce \(f:X\to Y\) je homeomorfismus, jestliže je funkce
\(f\) bijekce a zároveň \(f\) i \(f^{-1}\) jsou spojité funkce. Existuje-li
homeomorfismus \(f:X\to Y\), pak řekneme, že topologické prostory \(X\) a
\(Y\) jsou homeomorfní.
Cvičení.
Předpokládejme, že \((X,\tau_X)\) a \((Y,\tau_Y)\) jsou topologické prostory
a nechť \(f:X\to Y\) je funkce. Dokažte, že následující tvrzení jsou
ekvivalentní:
- (i) Funkce \(f\) je spojitá.
- (ii) Na prostoru \(Y\) existuje báze \(\mathcal{B}\) topologie \(\tau(Y)\) tak, že pro každou množinu \(U\in\mathcal{B}\) platí, že množina \(f^{-1}(U)\in\tau(X)\).
- (iii) Na prostoru \(Y\) existuje subbáze \(\mathcal{S}\) topologie \(\tau(Y)\) platí, \(f^{-1}(U)\in\tau(X)\) pro každou množinu \(U\in\mathcal{S}\).
- (iv) Funkce \(f\) je spojitá v každém bodě \(x\in X\).
- (v) \(f^{-1}(F)\) je uzavřená množina v \(X\) pro každou uzavřenou množinu \(F\) v \(Y\).
- (vi) \(f(\text{cl}_X(A))\subset\text{cl}_Y(f(A))\) pro každou množinu \(A\subset X\).
- (vii) \(\text{cl}_X(f^{-1}(B))\subset f^{-1}(\text{cl}_Y(B))\) pro každou množinu \(B\subset Y\).
- (viii) \(f^{-1}(\text{Int}_Y(B))\subset\text{Int}_X(f^{-1}(B))\) pro každou množinu \(B\subset Y\).