Matematická analýza 2

Problém výpočtu obsahu

Uvažujme rovinný obrazec S, který je zobrazen na obrázku a jehož obrázek vidíme dole.
Nyní rozdělme obrazec na částí pomocí vertikálních přímek x=14,x=12,x=34. Viz obrázek níže.
Dále každý křivočarý lichoběžník S1,S2,S3 a S4 nahraďme obdélníkem jak ukazuje následující obrázek.
Interval jsme rozdělili na čtyři intervaly o stejné délce: 0,14, 14,12, 12,34 a 34,1. Výška každého obdélníka, který aproximuje obrazec Si je rovna funkční hodnotě funkce f(x) v pravém koncovém bodě příslušného dílčího intervalu tvořícího základnu obdélníka. Tedy každý z těchto obdélníků má šířku 14 a výšky jsou postupně rovny (14), (12), (34) a 12. Nechť R4 označuje součet obsahů jednotlivých obdélníků, tedy R4=14(14)2+14(12)2+14(34)2+14(1)2=1532. Z obrázku nahoře je zřemé, že obsah A obrazce S je menší než R4, tedy A<1532. Nyní aproximujme obrazec S pomocí obdélníků, jejichž výška bude tentokrát rovna funkční hodnotě funkce f(x)=x2 v levém koncovém bodě každého dílčího intervalu 0,14, 14,12, 12,34 a 34,1. Viz následující obrázek:
Součet obsahů jednotlivých aproximujících obdélníků je analogicky roven: L4=1402+14(14)2+14(12)2+14(34)2=732. Takto jsme dostali dolní odhad obsahu obrazce S. Platí: 732<A<1532. Je samozřejmě možné zopakovat výpočet pro jemnější aproximaci obrazce pomocí více dílčích intervalů. Například, pokud zdvojnásobíme počet aproximujících obdélníků, dosataneme odhady: 0.2734375<A<0.3984375 Ještě přesnější odhady dostaneme postupným zvětšováním počtu aproximujících obdélníků. Viz následující tabulka:
Na následujícím obrázku vidíte aproximaci obrazce pro počet n=8.
Ukažme dále, že pro n posloupnost (Rn) konverguje a platí: limnRn=13. K výpočtu použijeme vzorec pro výpočet součtu kvadrátů prvních n přirozených čísel: 12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6. Rn bude označovat součet obsahů obdélníků, které tvoří horní aproximaci obrazce S a výška každého obdélníku bude rovna funkční hodnotě funkce f(x)=x2 v pravém koncovém bodě.
Tedy Rn=1nf(1n)+1nf(2n)++1nf(nn)=1n(1n)2+1n(2n)2++1n(nn)2=1n1n2(12+22++n2)=1n3(12+22++n2). Použitím výše uvedeného vzorce dostaneme: Rn=1n3n(n+1)(2n+1)6=(n+1)(2n+1)6n2. Potom přechodem k limitě dostaneme: limnRn=limn(n+1)(2n+1)6n2=limn16(n+1n)(2n+1n)=16limn(1+1n)(2+1n)=16112=13. Nyní dává smysl definovat obsah A obrazce S jako limitu: A=limnRn=limnLn=13.

Zobecnění předchozího příkladu

Nyní uvažujme nezápornou spojitou funkci f:a,bR0+ a uvažujme obrazec S ohraničený grafem funkce f, osou x a přímkami x=a a x=b. Viz následující obrázek:
Rozdělme obrazec S na n částí S1,S2,,Sn nad dílčími intervaly xi1,xi mající konsntní délku Δx=ban. Šířka každého dílčího pruhu Si je tedy rovna Δx. Dílčími intervaly jsou intervaly: x0,x1, x1,x2, , xn1,xn, kde x0=a a xn=b. Pravé koncové body dílčích intervalů jsou: x1=a+Δx,x2=a+2Δx,x3=a+3Δx,xn1=a+(n1)Δx,xn=a+nΔx=b. Obecně xi=a+iΔx. Obsah každého dílčího obrazce aproximujeme obsahem obdélníku, jehož základna má délku Δx a výška je rovna funkční hodnotě funkce f(xi) v pravém koncovém bodě příslušného dílčího intervalu. Obsah i-tého dílčího obdélníku je tedy roven: f(xi)Δx. Konečně obsah obrazce S budeme aproximovat součtem R obsahů dílčích obdélníků: Rn=f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx=i=1nf(xi)Δx. Viz následující obrázek:
Uveďme nyní definici obsahu obrazce S.
Definice: Obsah A obrazce S ohraničeného grafem funkce f, osou x a přímkami x=a a x=b je roven: A=limnRn=limn[f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx].
Poznámky:
  1. Je možné ukázat, že díky předpokladu spojitosti funkce f na intervalu a,b limita limnRn vždy existuje.
  2. Lze též ukázat, že pokud použijeme levé koncové body dílčích intervalů, potom A=limnLn=limn[f(x0)Δx+f(x1)Δx++f(xn1)Δx].
  3. Místo levých resp. pravých koncových bodů můžeme vybrat body x1, x2,,xn, kde pro každé i je xixi1,xi. Potom lze obsah A obrazce S vyjádřit pomocí obecnější limity: A=limn[f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx]=limn[i=1nf(xi)Δx]. Viz obrázek dole.
  4. Vzhledem ke spojitosti funkce f na každém z dílčích intervalů lze pro každé i volit výběrový bod xixi1,xi tak, že f(xi)=minxxi1,xif(x). Dostaneme tak tzv. dolní integrální součet, který je dolním odhadem obsahu A. Analogicky lze definovat horní integrální součet, který je horním odhadem obsahu A obrazce S.
Ekvivalentní definice obsahu obrazce: Obsah obrazce S je jednoznačně definovaná hodnota A, větší než livolný dolní integrální součet a menší než libovolný horní integrální součet.
Program, který počítá Riemannův integrální součet pro zadanou funkci f(x) na intervalu a,b a zadaný počet dílčích intervalů n je k dispozici na adrese: zde.
Příklad: Nechť A označuje obsah obrazce omehčeného grafem funkce f(x)=ex a přímkami x=0 a x=2.
  1. Vyjádřeme A jako limitu integrálních součtů a kde výběrové body budou pravé koncové body dílčích intervalů. Tuto limitu nepočítejme.
  2. Odhadněme A pomocí Riemannova integrálního součtu, kde výběrové body budou středy dílčích intervalů. Použijme 10 dílčích intervalů.
Řešení:
  1. A=02exdx=limni=1nexiΔxi, kde xi=2in, Δxi=2n, i=1,2,,n. Nyní dosaďme 2in za xi ve výše uvedené sumě: A=limni=1ne2in2n. Poslední sumu rozepišme: =limn[e2n2n+e4n2n++e2nn2n]. Po úpravě dostaneme: =limn2n[e2n+e4n++e2]. Na obrázku níže je zobrazen graf funkce f(x)=ex na intervalu 0,2 pro 4 dílčí intervaly.
  2. Vyčíslemem Riemannův integrální součet pro 10 dílčích intervalů, kde výběrové body budou tentokrát středy dílčích intervalů. Δx=210=0.2 a xi=0.2i pro i=0,1,,10. Pak pro každé i je xi=xi1+xi2=0.2(i1)+0.2i2=0.2i0.1 pro i=1,2,,10. Tedy M10=i=110f(xi)Δxi=f(0.1)Δx+f(0.3)Δx++f(1.9)Δx=e0.10.2+e0.30.2++e1.90.20.8632.

Určitý integrál

Úvod

Definice. Nechť f je funkce definovaná na intervalu a,b. Dále uvažujme dělení intervalu a,b na n dílčích intervalů xi1,xi o konstantní délce Δx=ban. Dělícími body budou potom body x0=a, x1=a+Δx, x2=a+2Δx, , xn=b. Nechť pro každé i=1,2,,n je xixi1,xi. Potom budeme definovat určitý integrál funkce f na intervalu a,b jako limitu: abf(x)dx=limni=1nf(xi)Δx za předpokladu, že tato limita existuje a nezávisí na volbě výběrových bodů xi. Potom též říkáme, že funkce f je integrovatelná na intervalu a,b nebo že funkce f má na intervalu a,b Riemannův integrál.