Zobecnění předchozího příkladu
Nyní uvažujme nezápornou spojitou funkci \(f:\langle a,b \rangle
\to \mathbb{R}_0^+\) a uvažujme obrazec \(S\) ohraničený grafem
funkce \(f\), osou \(x\) a přímkami \(x = a\) a \(x = b\).
Viz následující obrázek:
Rozdělme obrazec \(S\) na \(n\) částí \(S_1, S_2, \ldots, S_n\)
nad dílčími intervaly \(⟨x_{i-1}, x_i⟩\) mající konsntní délku
\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\). Šířka každého dílčího pruhu \(S_i\)
je tedy rovna \(\Delta x\). Dílčími intervaly jsou intervaly:
$$
\langle x_0, x_1 \rangle,\ \langle x_1, x_2 \rangle,\ \ldots,\
\langle x_{n-1}, x_n \rangle,
$$
kde \(x_0 = a\) a \(x_n = b\). Pravé koncové body dílčích intervalů
jsou:
$$
\begin{align*}
x_1 &= a + \Delta x, \\
x_2 &= a + 2\Delta x, \\
x_3 &= a + 3\Delta x, \\
&\vdots \\
x_{n-1} &= a + (n-1)\Delta x, \\
x_n &= a + n\Delta x = b.
\end{align*}
$$
Obecně \(x_i = a + i\Delta x\). Obsah každého dílčího obrazce
aproximujeme obsahem obdélníku, jehož základna má délku \(\Delta x\)
a výška je rovna funkční hodnotě funkce \(f(x_i)\) v pravém koncovém bodě
příslušného dílčího intervalu. Obsah \(i\)-tého dílčího obdélníku
je tedy roven:
$$
f(x_i)\Delta x.
$$
Konečně obsah obrazce \(S\) budeme aproximovat součtem \(R\) obsahů
dílčích obdélníků:
$$
R_n = f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \cdots + f(x_n)\Delta x
= \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x.
$$
Viz následující obrázek:
Uveďme nyní definici obsahu obrazce \(S\).
Definice:
Obsah \(A\) obrazce \(S\) ohraničeného grafem funkce \(f\),
osou \(x\) a přímkami \(x = a\) a \(x = b\) je roven:
$$
\boxed{
A = \lim_{n \to \infty} R_n =
\lim_{n \to \infty} [f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x +
\cdots + f(x_n)\Delta x].
}
$$
Poznámky:
- Je možné ukázat, že díky předpokladu spojitosti funkce
\(f\) na intervalu \(⟨a,b⟩\) limita
\(\lim_{n\to∞} R_n\) vždy existuje.
- Lze též ukázat, že pokud použijeme levé koncové body dílčích
intervalů, potom
$$
A = \lim_{n\to∞} L_n = \lim_{n\to∞}
[f(x_0)Δx + f(x_1)Δx + \cdots+ f(x_{n - 1})Δx].
$$
-
Místo levých resp. pravých koncových bodů můžeme vybrat body
\(x_1^*,\ x_2^*,\ldots,x_n^*,\) kde pro každé \(i\) je
\(x_i^* ∈ ⟨x_{i-1}, x_i⟩.\) Potom lze obsah \(A\) obrazce \(S\)
vyjádřit pomocí obecnější limity:
$$
A = \lim_{n\to∞} [f(x_1^*)Δx + f(x_2^*)Δx + \cdots+ f(x_n^*)Δx]
=\lim_{n\to\infty} \left[\sum_{i=1}^nf(x_i^*) \Delta x\right].
$$
Viz obrázek dole.
- Vzhledem ke spojitosti funkce \(f\) na každém z dílčích intervalů
lze pro každé \(i\) volit výběrový bod \(x_i^* ∈ ⟨x_{i-1}, x_i⟩\)
tak, že \(f(x_i^*) = \min_{x ∈ ⟨x_{i-1}, x_i⟩} f(x).\) Dostaneme
tak tzv. dolní integrální součet, který je dolním odhadem
obsahu \(A\). Analogicky lze definovat
horní integrální součet, který je horním odhadem obsahu
\(A\) obrazce \(S.\)
Ekvivalentní definice obsahu obrazce:
Obsah obrazce \(S\) je jednoznačně definovaná hodnota \(A\),
větší než livolný dolní integrální součet a menší než
libovolný horní integrální součet.
Program, který počítá Riemannův integrální součet pro zadanou
funkci \(f(x)\) na intervalu \(⟨a,b⟩\) a zadaný počet dílčích intervalů
\(n\) je k dispozici na adrese:
zde.
Příklad:
Nechť \(A\) označuje obsah obrazce omehčeného grafem funkce \(f(x) = e^{-x}\) a přímkami
\(x = 0\) a \(x = 2.\)
-
Vyjádřeme \(A\) jako limitu integrálních součtů a kde výběrové body budou pravé
koncové body dílčích intervalů. Tuto limitu nepočítejme.
-
Odhadněme \(A\) pomocí Riemannova integrálního součtu, kde výběrové body budou
středy dílčích intervalů. Použijme 10 dílčích intervalů.
Řešení:
-
\(A = \int_0^2 e^{-x}dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n e^{-x_i}\Delta x_i,\)
kde \(x_i^* = \frac{2i}{n}\), \(\Delta x_i = \frac{2}{n},\) \(i = 1, 2,\ldots,n.\)
Nyní dosaďme \(\frac{2i}{n}\) za \(x_i\) ve výše uvedené sumě:
\[
A = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n e^{-\frac{2i}{n}}\cdot\frac{2}{n}.
\]
Poslední sumu rozepišme:
\[
= \lim_{n\to\infty} \left[e^{-\frac{2}{n}}\cdot\frac{2}{n} + e^{-\frac{4}{n}}\cdot\frac{2}{n}
+ \cdots + e^{-\frac{2n}{n}}\cdot\frac{2}{n}\right].
\]
Po úpravě dostaneme:
\[
= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n}\left[e^{-\frac{2}{n}} + e^{-\frac{4}{n}} + \cdots + e^{-2}\right].
\]
Na obrázku níže je zobrazen graf funkce \(f(x) = e^{-x}\) na intervalu \(⟨0,2⟩\) pro 4 dílčí
intervaly.
-
Vyčíslemem Riemannův integrální součet pro 10 dílčích intervalů, kde výběrové body
budou tentokrát středy dílčích intervalů. \(\Delta x = \frac{2}{10} = 0.2\) a \(x_i =
0.2i\) pro \(i = 0, 1, \ldots, 10\). Pak pro každé \(i\) je \(x_i^* = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} =
\frac{0.2(i-1) + 0.2i}{2} = 0.2i - 0.1\) pro \(i = 1, 2, \ldots, 10\). Tedy
\[
\begin{align*}
M_{10} &= \sum_{i=1}^{10} f(x_i^*)\Delta x_i = f(0.1)\Delta x + f(0.3)\Delta x +
\cdots + f(1.9)\Delta x \\
&= e^{-0.1}\cdot0.2 + e^{-0.3}\cdot0.2 + \cdots + e^{-1.9}\cdot0.2\approx 0.8632.
\end{align*}
\]
Určitý integrál
Úvod
Definice.
Nechť \(f\) je funkce definovaná na intervalu \(⟨a,b⟩\). Dále uvažujme
dělení intervalu \(⟨a,b⟩\) na \(n\) dílčích intervalů \(⟨x_{i-1}, x_i⟩\)
o konstantní délce \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\). Dělícími body budou potom
body \(x_0 = a,\ x_1 = a + \Delta x,\ x_2 = a + 2\Delta x,\ \ldots,\ x_n = b\).
Nechť pro každé \(i = 1, 2, \ldots, n\) je \(x_i^* ∈ ⟨x_{i-1}, x_i⟩\). Potom
budeme definovat určitý integrál funkce \(f\) na intervalu \(⟨a,b⟩\)
jako limitu:
\[
\boxed{
\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x}
\]
za předpokladu, že tato limita existuje a nezávisí na volbě výběrových bodů
\(x_i^*.\) Potom též říkáme, že funkce \(f\) je integrovatelná na
intervalu \(⟨a,b⟩\) nebo že funkce \(f\) má na intervalu \(⟨a,b⟩\) Riemannův
integrál.