Zobecnění předchozího příkladu
Nyní uvažujme nezápornou spojitou funkci a uvažujme obrazec ohraničený grafem
funkce , osou a přímkami a .
Viz následující obrázek:
Rozdělme obrazec na částí
nad dílčími intervaly mající konsntní délku
. Šířka každého dílčího pruhu
je tedy rovna . Dílčími intervaly jsou intervaly:
kde a . Pravé koncové body dílčích intervalů
jsou:
Obecně . Obsah každého dílčího obrazce
aproximujeme obsahem obdélníku, jehož základna má délku
a výška je rovna funkční hodnotě funkce v pravém koncovém bodě
příslušného dílčího intervalu. Obsah -tého dílčího obdélníku
je tedy roven:
Konečně obsah obrazce budeme aproximovat součtem obsahů
dílčích obdélníků:
Viz následující obrázek:
Uveďme nyní definici obsahu obrazce .
Definice:
Obsah obrazce ohraničeného grafem funkce ,
osou a přímkami a je roven:
Poznámky:
- Je možné ukázat, že díky předpokladu spojitosti funkce
na intervalu limita
vždy existuje.
- Lze též ukázat, že pokud použijeme levé koncové body dílčích
intervalů, potom
-
Místo levých resp. pravých koncových bodů můžeme vybrat body
kde pro každé je
Potom lze obsah obrazce
vyjádřit pomocí obecnější limity:
Viz obrázek dole.
- Vzhledem ke spojitosti funkce na každém z dílčích intervalů
lze pro každé volit výběrový bod
tak, že Dostaneme
tak tzv. dolní integrální součet, který je dolním odhadem
obsahu . Analogicky lze definovat
horní integrální součet, který je horním odhadem obsahu
obrazce
Ekvivalentní definice obsahu obrazce:
Obsah obrazce je jednoznačně definovaná hodnota ,
větší než livolný dolní integrální součet a menší než
libovolný horní integrální součet.
Program, který počítá Riemannův integrální součet pro zadanou
funkci na intervalu a zadaný počet dílčích intervalů
je k dispozici na adrese:
zde.
Příklad:
Nechť označuje obsah obrazce omehčeného grafem funkce a přímkami
a
-
Vyjádřeme jako limitu integrálních součtů a kde výběrové body budou pravé
koncové body dílčích intervalů. Tuto limitu nepočítejme.
-
Odhadněme pomocí Riemannova integrálního součtu, kde výběrové body budou
středy dílčích intervalů. Použijme 10 dílčích intervalů.
Řešení:
-
kde ,
Nyní dosaďme za ve výše uvedené sumě:
Poslední sumu rozepišme:
Po úpravě dostaneme:
Na obrázku níže je zobrazen graf funkce na intervalu pro 4 dílčí
intervaly.
-
Vyčíslemem Riemannův integrální součet pro 10 dílčích intervalů, kde výběrové body
budou tentokrát středy dílčích intervalů. a pro . Pak pro každé je pro . Tedy
Určitý integrál
Úvod
Definice.
Nechť je funkce definovaná na intervalu . Dále uvažujme
dělení intervalu na dílčích intervalů
o konstantní délce . Dělícími body budou potom
body .
Nechť pro každé je . Potom
budeme definovat určitý integrál funkce na intervalu
jako limitu:
za předpokladu, že tato limita existuje a nezávisí na volbě výběrových bodů
Potom též říkáme, že funkce je integrovatelná na
intervalu nebo že funkce má na intervalu Riemannův
integrál.