Určité integrály

Problém výpočtu obsahu

Uvažujme rovinný obrazec

S

, který je zobrazen na obrázku a jehož obrázek vidíme dole.

Nyní rozdělme obrazec na částí pomocí vertikálních přímek

x = \frac{1}{4}, x = \frac{1}{2}, x = \frac{3}{4} .

Viz obrázek níže.

Dále každý křivočarý lichoběžník

S_{1}, S_{2}, S_{3}

S_{4}

nahraďme obdélníkem jak ukazuje následující obrázek.

Interval jsme rozdělili na čtyři intervaly o stejné délce:

⟨ 0, \frac{1}{4} ⟩, ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} ⟩, ⟨ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} ⟩

⟨ \frac{3}{4}, 1 ⟩ .

Výška každého obdélníka, který aproximuje obrazec

S_{i}

je rovna funkční hodnotě funkce

f (x)

v pravém koncovém bodě příslušného dílčího intervalu tvořícího základnu obdélníka. Tedy každý z těchto obdélníků má šířku

\frac{1}{4}

a výšky jsou postupně rovny

(\frac{1}{4}), (\frac{1}{2}), (\frac{3}{4})

1^{2} .

Nechť

R_{4}

označuje součet obsahů jednotlivých obdélníků, tedy

R_{4} = \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (1)^{2} = \frac{15}{32} .

Z obrázku nahoře je zřemé, že obsah

A

obrazce

S

je menší než

R_{4},

tedy

A < \frac{15}{32} .

Nyní aproximujme obrazec

S

pomocí obdélníků, jejichž výška bude tentokrát rovna funkční hodnotě funkce

f (x) = x^{2}

v levém koncovém bodě každého dílčího intervalu

⟨ 0, \frac{1}{4} ⟩, ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} ⟩, ⟨ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} ⟩

⟨ \frac{3}{4}, 1 ⟩ .

Viz následující obrázek:

Součet obsahů jednotlivých aproximujících obdélníků je analogicky roven:

L_{4} = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{7}{32} .

Takto jsme dostali dolní odhad obsahu obrazce

S .

Platí:

\frac{7}{32} < A < \frac{15}{32} .

Je samozřejmě možné zopakovat výpočet pro jemnější aproximaci obrazce pomocí více dílčích intervalů. Například, pokud zdvojnásobíme počet aproximujících obdélníků, dosataneme odhady:

0.2734375 < A < 0.3984375

Ještě přesnější odhady dostaneme postupným zvětšováním počtu aproximujících obdélníků. Viz následující tabulka:

Na následujícím obrázku vidíte aproximaci obrazce pro počet

n = 8.

Ukažme dále, že pro

n \to \infty

posloupnost

(R_{n})

konverguje a platí:

lim_{n \to \infty} R_{n} = \frac{1}{3} .

K výpočtu použijeme vzorec pro výpočet součtu kvadrátů prvních

n

přirozených čísel:

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .

R_{n}

bude označovat součet obsahů obdélníků, které tvoří horní aproximaci obrazce

S

a výška každého obdélníku bude rovna funkční hodnotě funkce

f (x) = x^{2}

v pravém koncovém bodě.

Tedy

\begin{aligned} R_{n} & = \frac{1}{n} f (\frac{1}{n}) + \frac{1}{n} f (\frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n} f (\frac{n}{n}) \\ = \frac{1}{n} {(\frac{1}{n})}^{2} + \frac{1}{n} {(\frac{2}{n})}^{2} + \dots + \frac{1}{n} {(\frac{n}{n})}^{2} \\ = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}) \\ = \frac{1}{n^{3}} (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}) . \end{aligned}

Použitím výše uvedeného vzorce dostaneme:

R_{n} = \frac{1}{n^{3}} \cdot \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{2}} .

Potom přechodem k limitě dostaneme:

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} R_{n} & = lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{2}} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} (\frac{n + 1}{n}) (\frac{2 n + 1}{n}) \\ = \frac{1}{6} \cdot lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) \cdot (2 + \frac{1}{n}) \\ = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{1}{3} . \end{aligned}

Nyní dává smysl definovat obsah

A

obrazce

S

jako limitu:

A = lim_{n \to \infty} R_{n} = lim_{n \to \infty} L_{n} = \frac{1}{3} .

Zobecnění předchozího příkladu

Nyní uvažujme nezápornou spojitou funkci

f : ⟨ a, b ⟩ \to R_{0}^{+}

a uvažujme obrazec

S

ohraničený grafem funkce

f

, osou

x

a přímkami

x = a

x = b

. Viz následující obrázek:

Rozdělme obrazec

S

n

částí

S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}

nad dílčími intervaly

⟨ x_{i - 1}, x_{i} ⟩

mající konsntní délku

Δ x = \frac{b - a}{n}

. Šířka každého dílčího pruhu

S_{i}

je tedy rovna

Δ x

. Dílčími intervaly jsou intervaly:

⟨ x_{0}, x_{1} ⟩, ⟨ x_{1}, x_{2} ⟩, \dots, ⟨ x_{n - 1}, x_{n} ⟩,

kde

x_{0} = a

x_{n} = b

. Pravé koncové body dílčích intervalů jsou:

\begin{aligned} x_{1} & = a + Δ x, \\ x_{2} & = a + 2 Δ x, \\ x_{3} & = a + 3 Δ x, \\ ⋮ \\ x_{n - 1} & = a + (n - 1) Δ x, \\ x_{n} & = a + n Δ x = b . \end{aligned}

Obecně

x_{i} = a + i Δ x

. Obsah každého dílčího obrazce aproximujeme obsahem obdélníku, jehož základna má délku

Δ x

a výška je rovna funkční hodnotě funkce

f (x_{i})

v pravém koncovém bodě příslušného dílčího intervalu. Obsah

i

-tého dílčího obdélníku je tedy roven:

f (x_{i}) Δ x .

Konečně obsah obrazce

S

budeme aproximovat součtem

R

obsahů dílčích obdélníků:

R_{n} = f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + \dots + f (x_{n}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x .

Viz následující obrázek:

Uveďme nyní definici obsahu obrazce

S

Definice: Obsah

A

obrazce

S

ohraničeného grafem funkce

f

, osou

x

a přímkami

x = a

x = b

je roven:

A = lim_{n \to \infty} R_{n} = lim_{n \to \infty} [f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + \dots + f (x_{n}) Δ x] .

Poznámky:

Je možné ukázat, že díky předpokladu spojitosti funkce $f$ na intervalu $⟨ a, b ⟩$ limita $lim_{n \to \infty} R_{n}$ vždy existuje.
Lze též ukázat, že pokud použijeme levé koncové body dílčích intervalů, potom $A = lim_{n \to \infty} L_{n} = lim_{n \to \infty} [f (x_{0}) Δ x + f (x_{1}) Δ x + \dots + f (x_{n - 1}) Δ x] .$
Místo levých resp. pravých koncových bodů můžeme vybrat body $x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \dots, x_{n}^{*},$ kde pro každé $i$ je $x_{i}^{*} \in ⟨ x_{i - 1}, x_{i} ⟩ .$ Potom lze obsah $A$ obrazce $S$ vyjádřit pomocí obecnější limity: $A = lim_{n \to \infty} [f (x_{1}^{*}) Δ x + f (x_{2}^{*}) Δ x + \dots + f (x_{n}^{*}) Δ x] = lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x] .$ Viz obrázek dole.
Vzhledem ke spojitosti funkce $f$ na každém z dílčích intervalů lze pro každé $i$ volit výběrový bod $x_{i}^{*} \in ⟨ x_{i - 1}, x_{i} ⟩$ tak, že $f (x_{i}^{*}) = min_{x \in ⟨ x_{i - 1}, x_{i} ⟩} f (x) .$ Dostaneme tak tzv. dolní integrální součet, který je dolním odhadem obsahu $A$ . Analogicky lze definovat horní integrální součet, který je horním odhadem obsahu $A$ obrazce $S .$

Ekvivalentní definice obsahu obrazce: Obsah obrazce

S

je jednoznačně definovaná hodnota

A

, větší než livolný dolní integrální součet a menší než libovolný horní integrální součet.

Program, který počítá Riemannův integrální součet pro zadanou funkci

f (x)

na intervalu

⟨ a, b ⟩

a zadaný počet dílčích intervalů

n

je k dispozici na adrese: zde.

Příklad: Nechť

A

označuje obsah obrazce omehčeného grafem funkce

f (x) = e^{- x}

a přímkami

x = 0

x = 2.

Vyjádřeme $A$ jako limitu integrálních součtů a kde výběrové body budou pravé koncové body dílčích intervalů. Tuto limitu nepočítejme.
Odhadněme $A$ pomocí Riemannova integrálního součtu, kde výběrové body budou středy dílčích intervalů. Použijme 10 dílčích intervalů.

Řešení:

$A = \int_{0}^{2} e^{- x} d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} e^{- x_{i}} Δ x_{i},$ kde $x_{i}^{*} = \frac{2 i}{n}$ , $Δ x_{i} = \frac{2}{n},$ $i = 1, 2, \dots, n .$ Nyní dosaďme $\frac{2 i}{n}$ za $x_{i}$ ve výše uvedené sumě: $A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} e^{- \frac{2 i}{n}} \cdot \frac{2}{n} .$ Poslední sumu rozepišme: $= lim_{n \to \infty} [e^{- \frac{2}{n}} \cdot \frac{2}{n} + e^{- \frac{4}{n}} \cdot \frac{2}{n} + \dots + e^{- \frac{2 n}{n}} \cdot \frac{2}{n}] .$ Po úpravě dostaneme: $= lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} [e^{- \frac{2}{n}} + e^{- \frac{4}{n}} + \dots + e^{- 2}] .$ Na obrázku níže je zobrazen graf funkce $f (x) = e^{- x}$ na intervalu $⟨ 0, 2 ⟩$ pro 4 dílčí intervaly.
Vyčíslemem Riemannův integrální součet pro 10 dílčích intervalů, kde výběrové body budou tentokrát středy dílčích intervalů. $Δ x = \frac{2}{10} = 0.2$ a $x_{i} = 0.2 i$ pro $i = 0, 1, \dots, 10$ . Pak pro každé $i$ je $x_{i}^{*} = \frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2} = \frac{0.2 (i - 1) + 0.2 i}{2} = 0.2 i - 0.1$ pro $i = 1, 2, \dots, 10$ . Tedy $\begin{aligned} M_{10} & = \sum_{i = 1}^{10} f (x_{i}^{*}) Δ x_{i} = f (0.1) Δ x + f (0.3) Δ x + \dots + f (1.9) Δ x \\ = e^{- 0.1} \cdot 0.2 + e^{- 0.3} \cdot 0.2 + \dots + e^{- 1.9} \cdot 0.2 \approx 0.8632 . \end{aligned}$

Určitý integrál

Úvod

Definice. Nechť

f

je funkce definovaná na intervalu

⟨ a, b ⟩

. Dále uvažujme dělení intervalu

⟨ a, b ⟩

n

dílčích intervalů

⟨ x_{i - 1}, x_{i} ⟩

o konstantní délce

Δ x = \frac{b - a}{n}

. Dělícími body budou potom body

x_{0} = a, x_{1} = a + Δ x, x_{2} = a + 2 Δ x, \dots, x_{n} = b

. Nechť pro každé

i = 1, 2, \dots, n

x_{i}^{*} \in ⟨ x_{i - 1}, x_{i} ⟩

. Potom budeme definovat určitý integrál funkce

f

na intervalu

⟨ a, b ⟩

jako limitu:

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x

za předpokladu, že tato limita existuje a nezávisí na volbě výběrových bodů

x_{i}^{*} .

Potom též říkáme, že funkce

f

je integrovatelná na intervalu

⟨ a, b ⟩

nebo že funkce

f

má na intervalu

⟨ a, b ⟩

Riemannův integrál.