Reálná čísla

Důkaz matematickou indukcí

Příklad. Dokažte, že pro každé přirozené číslo

n

platí

\begin{matrix} (P(n)) & 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} . \end{matrix}

Řešení.

Pro $n = 1$ máme $1 = \frac{1 (1 + 1)}{2} ⟹ P (1) platí .$ (Obecný krok matematické indukce). Předpokládejme, že platí $P (n)$ pro nějaké pevné $n \in N$ . Ukažme, že pak platí též $P (n + 1)$ . Máme $\begin{aligned} 1 + 2 + 3 + \dots + n + (n + 1) & = \frac{n (n + 1)}{2} + (n + 1) \\ = \frac{n (n + 1) + 2 (n + 1)}{2} \\ = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} . \end{aligned}$ Tedy $P (n + 1)$ platí. Podle principu matematické indukce tedy platí $P (n)$ pro všechna $n \in N$ .

Jak lze zavést přirozená čísla axiomaticky pomocí tzv. Peanových axiómů, se můžete dočíst zde. Další informace o matematické indukci naleznete zde.

Věta (Princip dobrého uspořádání). Každá neprázdná podmnožina množiny přirozených čísel má nejmenší prvek.

Uveďme pár příkladů, kdy předchozí princip dobrého uspořádání neplatí. Uvažujme množinu všech celých čísel $Z$ a podmnožinu $\emptyset \neq M = {k \in Z : k < 0} .$ Potom zřejmě $M$ nemá nejmenší prvek. Podobně množina $M = {x \in R : 0 < x}$ je neprázdná a nemá v $R$ nejmenší prvek. Pokud bychom připustili existenci nejmenšího prvku, řekněme $x_{0} \in M$ , pak lze snadno vidět, že $0 < x = \frac{x_{0}}{2} \in M$ a zároveň $x < x_{0}$ , což je spor.

Cvičení. S využitím principu dobrého uspořádání dokažte, že je-li

S \subset N

a

S

splňuje podmínky:

$1 \in S$ ,
pro každé $k \in N$ pokud $k \in S$ , pak $k + 1 \in S$ ,

pak

S = N

.

Předpokládejme, že budeme chtít dokázat tvrzení: " $\forall n \in N : n \geq n_{0} ⟹ P (n)$ ". To znamená, že pro jisté $n_{0} \in N$ platí $P (n)$ pro všechna $n \geq n_{0}$ . V tomto případě se postupuje obdobně jako v předchozím příkladu.

Cvičení. Předpokládejme, že

n_{0} \in N

a

P (n)

je tvrzení o přirozeném čísle

n

. Dále předpokládejme, že platí:

$P (n_{0})$ je pravdivé,
pro každé $k \in N$ pro které je $k \geq n_{0}$ $P (k)$ implikuje $P (k + 1)$ .

Dokažte, že

P (n)

platí pro všechna

n \geq n_{0}

.

Cvičení. Dokažte, že pro každé přirozené číslo

n

platí

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .

Archimédova vlastnost

Věta (Archimedova vlastnost). Pro všechna

y \in R

a pro každé

x \in R, x > 0

existuje

n \in N

takové, že

n x > y

.

Cvičení. S využitím Archimédovy vlastnosti dokažte, že množina přirozených čísel neobsahuje největší prvek.

Věta. Nechť

x \in R

,

x > 0

. Pak pro každé

y \in R

existuje jediné celé číslo

m \in Z

takové, že

(m - 1) x \leq y < m x .

Důkaz. (i) (Důkaz existence čísla

m

). Nechť

x \in R

,

x > 0

a

y \in R

. Cílem je nyní dokázat existenci čísla

m \in Z

tak, aby platilo

(m - 1) x \leq y < m x .

Nyní definujme množinu

S = {m \in Z : m x > y} .

Množina

S

je neprázdná díky Archimédově vlastnosti. Poznamenejme, že množina

S

podmnožina množiny celých čísel

Z

, která není dobře uspořádaná. Tedy pro důkaz existence nejmenšího prvku v

S

nelze "napřímo" použít princip dobrého uspořádání. Abychom tuto překážku obešli, uvažujme celé číslo

k

pro které platí

k \leq \frac{y}{x}

, tj.

k x \leq y

. Nyní pro každé

m \in S

je

n = m - k > 0

a tedy

n \in N

. Položíme-li nyní

T = {n \in N : (n + k) x > y},

je zřejmé, že

T

je neprázdná podmnožina množiny přirozených čísel a pro každé

m \in Z

m \in S

právě tehdy, když

n = m - k \in T

. Označme pak nejmenší prvek množiny

T

jako

n_{0}

. Potom je zřejmě číslo

m_{0} = n_{0} + k

nejmenší prvek množiny

S

. Nyní ukažme, že pro

m = m_{0}

platí

(m - 1) x \leq y < m x .

Protože je celé číslo

m_{0}

nejmenší prvek množiny

S

, pak

m - 1 \notin S

. To znamená, že platí

(m - 1) x \leq y .

Nerovnost

y < m x

je zřejmá, neboť

m = m_{0} \in S

. Tím je důkaz existence hotov.
(ii) (Jednoznačnost čísla

m

). Předpokládejme, že existuje jiné celé číslo

m^{'}

takové, že

(m^{'} - 1) x \leq y < m^{'} x .

Ukažme, že pak

m^{'} = m

. Pokud by platilo

m^{'} < m

, potom potom by platilo, že

m^{'} \in S

, což je spor s tím, že

m

je nejmenší prvek množiny

S

. Pokud by platilo, že

m^{'} > m

, potom by platilo

y < m x \leq (m^{'} - 1) x \leq y,

což implikuje, že

y < y

, což je také spor. Tedy

m^{'} = m

.

◻

Věta. Pro každé dvě reálná čísla

a, b \in R

,

a < b

, existuje racionální číslo

r \in Q

takové, že

a < r < b

.

Důkaz. Z předpokladů věty plyne, že

b - a > 0

. Z Archimédovy vlastnosti plyne existence

n_{0} \in N

pro nějž platí

1 < n_{0} (b - a) .

Tj.

0 < 1 / n_{0} < b - a

. Dále existuje jediné celé číslo

m_{0} \in Z

takové, že

(m_{0} - 1) \frac{1}{n_{0}} \leq a < m_{0} \frac{1}{n_{0}} .

Nyní položme

r = m_{0} / n_{0}

. Potom zřejmě

a < r .

Dále

a \geq (m_{0} - 1) \frac{1}{n_{0}} = r - \frac{1}{n_{0}} > r - (b - a) = r - b + a,

což implikuje, že

r < b

. Tedy

a < r < b

.

◻

Suprémum a infimum

V následujícím textu se budeme zabývat suprémem a infimem množiny reálných čísel. Nejprve zavedeme pojem horní a dolní hranice(meze) podmnoužiny množiny reálných čísel.

Definice. Uvažujme neprázdnou podmnožinu

A \subset R

. Řekneme, že množina

A

je shora omezenou množinou, pokud existuje

h \in R

takové, že pro každé

a \in A

platí

a \leq h

. Číslo

h

nazveme horní mezí množiny

A

. Podobně řekneme, že množina

A

je zdola omezenou množinou, pokud existuje

d \in R

takové, že pro každé

a \in A

platí

a \geq d

. Číslo

d

nazveme dolní mezí množiny

A

.

Definice. Uvažujme neprázdnou podmnožinu

A \subset R

. Číslo

s \in R

nazveme suprémem množiny

A

, pokud

je horní mezí množiny $A$ ,
pro každé $ε > 0$ existuje $a \in A$ takové, že $s - ε < a$ .

Číslo

i \in R

nazveme infimem množiny

A

, pokud

je dolní mezí množiny $A$ ,
pro každé $ε > 0$ existuje $a \in A$ takové, že $s + ε > a$ .

Věta (Axiom o existenci supréma). Každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má suprémum.